Question

如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
（1）求弦AC的长；
（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=6；
（2）有三种情况需要考虑：AC=PC，AP=AC，AP=CP，分别求出三种情况下，PB的值，即经过的时间．

解答：解：（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，
从而AD=

OA2-OD2

=3，
∴AC=2AD=6；

（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10-t，
①若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，
∴△AHC∽△ADO，
∴AC：AH=OA：AD，即AC：

10-t

2

=5：3，
∴经过

14

5

s后△APC是等腰三角形；

②若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10-x，
又∵AC=6，
则10-t=6，解得t=4s，
∴经过4s后△APC是等腰三角形；

③若AP=CP，P与O重合，
则AP=BP=5，
∴经过5s后△APC是等腰三角形．

点评：此题主要考查垂径定理和等腰三角形的判定，注意三种情况的考虑．