如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点c.
【小题1】(1)求A、B、C三点的坐标.
【小题2】(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
【小题3】 (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由。
【小题1】解:(1)令y=0,得x2-1="0 " 解得x=±1
令x=0,得y=-1
∴A(-1,0) B(1,0) C(0,-1)
【小题2】(2)∵OA="OB=OC=1 " ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°
∵AP∥CB,∴∠PAB=45°
过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形
令OE=a,则PE="a+1 " ∴P(a,a+1)
∵点P在抛物线y=x2-1上 ∴a+1=a##2-1
解得a1=2,a2=-1(不合题意,舍去)
∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4
【小题3】(3)假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45° ∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA="OC=1 " ∴AC=
在Rt△PAE中,AE="PE=3 " ∴AP=
设M点的横坐标为m,则M(m,m2-1)
①点M在y轴左侧时,则m<-1
(i)当△AMG∽△PCA时,有
∵AG=-m-1,MG=m2-1
即 解得m1=-1(舍去) m2=(舍去)
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即 解得:m=-1(舍去) m2=-2
∴M(-2,3)
②点M在y轴右侧时,则m>1
(i)当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴ 解得m1=-1(舍去) m2= ∴
(ii)当△MAG∽△PCA时有
即
解得:m1=-1(舍去) m2="4 " ∴M(4,15)
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为(-2,3),(,),(4,15)
解析
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