Question

如图，已知反比例函数y₁=和一次函数y₂=ax+b的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1．过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．一次函数y₂=ax+b的图象与x轴相交于点C，且三角形ABC是等腰直角三角形．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点A的横坐标为1，即OB=1，△AOB的面积为2，
∴•OB•AB=2，解得AB=4，
∴A点坐标为（1，4），
把A（1，4）代入反比例函数y₁=，得k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴BC=BA=4，
∴OC=3，
∴C点坐标为（-3，0），
把A（1，4）和C（-3，0）代入y₂=ax+b得，k+b=4，-3k+b=0，解得k=1，b=3，
∴一次函数的解析式y=x+3；

（2）联立y=和y=x+3，解得x=1，y=4；x=-4，y=-1，
∴两图象的另一个交点坐标为（-4，-1），
观察图象，当y₁＞y₂时，即反比例图象在一次函数图象上方所对应的x的范围为：x＜-4或0＜x＜1．
分析：（1）由点A的横坐标为1，即OB=1，△AOB的面积为2得到AB=4，确定A点坐标为（1，4），把它代入反比例函数y₁=确定k=4；又三角形ABC是等腰直角三角形，得到BC=BA=4，则OC=3，确定C点坐标为（-3，0），然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）把y=和y=x+3联立起来解得到两图象的另一个交点坐标为（-4，-1），通过观察图象找出反比例图象在一次函数图象上方所对应的x的范围即可．
点评：本题考查了解反比例函数综合题的方法：通过几何条件确定点的坐标，然后利用待定系数法求函数图象的解析式，再运用反比例函数的性质解决问题．也考查了观察图象的能力．