Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,作图-旋转变换

专题：综合题,数形结合

分析：（1）根据题意先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）通过三角形全等求得PG=AB，CG=PB，分类讨论P在B点的左边与右边，从而求得C的坐标；
（3）分类讨论点P在OB上时、OE上时，把C的横坐标代入抛物线的解析式求得D的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列出等式，解这个方程即可求得m的值，进而求得P的坐标；

解答：解：（1）由题意可知：A（4，-4），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点、点E（8，0 ）和A（4，-4），则

c=0 64a+8b+c=0 16a+4b+c=-4

，
解得：

a= 1 4 b=-2 c=0

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-2x．

（2）∵∠APC=90°
∴∠APB+∠CPG=90°
∵AB⊥PE
∴∠APB+∠PAB=90°
∴∠CPG=∠PAB 
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA
∴△ABP≌△PGC        
∴PB=CG，AB=PG=4                                          
∵P（m，0），OP=m，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CG=|4-m|，OG=|m+4|
①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，
m＜4，4-m＞0，PB=CG=4-m
∴C（m+4，4-m）  
②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，
m＞4，4-m＜0，
∴PB=|4-m|=-（4-m）=m-4
∴CG=m-4                                                 
∴C（m+4，4-m）  
综上所述，点C坐标是C（m+4，4-m）


（3）
如图1，当点P在OB上时，
∵CD∥y轴，则CD⊥OE
∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x=m+4代入y=

1

4

x²-2x得y=

1

4

(m+4)2-2(m+4)                      
化简得：y=

1

4

m2-4
∴D（m+4，

1

4

m2-4）              
∴CD=4-m-（

1

4

m2-4）=-

1

4

m2-m+8
∵四边形ABCD是平行四边形         
∴AB=CD=4，
∴-

1

4

m2-m+8=4   
解得：m1=-2+2

5

，m2=-2-2

5

∵点P在线段OE上，
∴m2=-2-2

5

不符合题意，舍去
∴P（-2+2

5

，0）
如图2，当点P在线段BE上时，
∵C（m+4，4-m）             
∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x=m+4代入y=

1

4

x²-2x得              
y=

1

4

(m+4)2-2(m+4)                                                          
化简得：y=

1

4

m2-4
∴D（m+4，

1

4

m2-4）                      
∴CD=

1

4

m²-4-（4-m）=

1

4

m2+m-8=4，
∵四边形ABDC是平行四边形                                  
∴AB=CD=4，
∴

1

4

m2+m-8=4
解得m1=-2+2

13

，m2=-2-2

13

∵点P在线段OE上，
∴m2=-2-2

13

不符合题意，舍去
∴P（-2+2

13

，0）
综上所述，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为P（-2+2

5

，0）或P（-2+2

13

，0）

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、函数图象的交点的求法，综合性强，需要主要分类讨论，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．