如图.在矩形ABCD中.P为BC边上的一点.AP=AD.过点P作PE⊥PA交CD于E.连接AE并延长交BC的延长线于F．(1)求证:△APE≌△ADE,(2)若AB=3.CP=1.试求BP.CF的长,的条件下.连结PD.若点M为AP上的动点.N为AD延长线上的动点.且PM=DN.连结MN交PD于G.作MH⊥PD.垂足为H.试问当M.N在移动过程中.线段GH的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．如图，在矩形ABCD（AD＞AB）中，P为BC边上的一点，AP=AD，过点P作PE⊥PA交CD于E，连接AE并延长交BC的延长线于F．
（1）求证：△APE≌△ADE；
（2）若AB=3，CP=1，试求BP，CF的长；
（3）在（2）的条件下，连结PD，若点M为AP上的动点，N为AD延长线上的动点，且PM=DN，连结MN交PD于G，作MH⊥PD，垂足为H，试问当M、N在移动过程中，线段GH的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，求出GH的长．

分析（1）先判断出∠APE=∠D=90°，即可得出结论；
（2）先求出CD=AB=3，进而利用勾股定理求出CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$，再△ABP∽△PCE，即可得出BP=4即可得出结论；
（3）先判断出MI=DN，进而判断出△MGH≌△NGD，最后用勾股定理即可得出结论．

解答（1）证明：
∵在矩形ABCD中，∠D=90°，又PE⊥PA，
∴∠APE=∠D=90°，
又∵AP=AD，AE=AE，
∴△APE≌△ADE
（2）由△APE≌△ADE得DE=PE
∵AB=3，
∴CD=AB=3
∴在Rt△PCE中，设CE=x，则PE=3-x，
∴（3-x）²=x²+1²，解得x=$\frac{4}{3}$
∴CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$
又∵∠B=∠BCD=∠APE=90°
∴∠PEC+∠CPE=90°，∠APB+∠CPE=90°
∴∠PEC=∠APB
∴△ABP∽△PCE
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{CE}{CP}$，得BP=4
∴在Rt△ABP中，AP=AD=5，
又∵AD∥BC
∴$\frac{CF}{AD}=\frac{CE}{DE}=\frac{4}{5}$
∴CF=4
（3）没有变化H
如图2，

作MI∥DN交PD于I
∵AD=AP，MI∥DN
∴∠ADP=∠APD，∠ADP=∠MIP
∴∠APD=∠MIP
∴MI=PM
又∵MH⊥PD
∴PH=HI
又∵PM=DN
∴MI=DN
∴∠MGI=∠DGN，∠IMG=∠DNG，
∴△MGH≌△NGD
∴GI=GD
∴GH=GI+IH=$\frac{1}{2}$PD
∴在Rt△ABP中，PD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴GH=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出，∠APE=∠D=90°，解（2）的关键是求出CE=$\frac{4}{3}$，DE=$\frac{5}{3}$，解（3）的关键是判断出MI=DN．

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-2²=4

B．

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