Question

7．已知如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=12cm，直线l⊥BC于点C．点P从点A出发沿A→D→A路线以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发沿B→C路线以1cm/s的速度匀速运动，且P、Q两点同时出发，点Q到达终点时整个运动停止．点Q的运动时间为t（s），图②为△BPQ的面积y（cm²）关于t（s）的函数图象．
（1）求AB的长；
（2）若直线L也同时以1cm/s的速度沿线段CB方向平移，求t为何值时，直线L分别与点P、点Q相遇．
（3）在（2）的条件下，若直线L与线段BC的交点为M，与折线CDA的交点为N，试求以P、Q、M、N为顶点的四边形的面积S（cm²）关于t（s）的函数关系式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）首先作AE⊥BC于点E，由图②可得，当t=12时，即点Q到达点C时，△BPQ的面积是24cm²，据此求出AE的长度是多少；然后在Rt△ABE中，由勾股定理，求出AB的长是多少即可．
（2）首先延长AD交直线L于点F，根据路程÷速度=时间，用AF的长度除以直线L、点P的速度之和，求出t为何值时，直线L与点P相遇；然后根据路程÷速度=时间，用BC的长度除以直线L、点Q的速度之和，求出t为何值时，直线L与点Q相遇即可．
（3）根据题意，分五种情况：①当0＜t≤3时；②当3＜t≤4.5时；③当4.5＜t≤6时；④当6＜t≤9时；⑤当9＜t≤12时；求出以P、Q、M、N为顶点的四边形的面积S（cm²）关于t（s）的函数关系式，再根据二次函数、一次函数最值的求法，求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少即可．

解答 解：（1）如图1，作AE⊥BC于点E，，
由图②可得，当t=12时，即点Q到达点C时，△BPQ的面积是24cm²，
∴$\frac{1}{2}×BC×AE=24$，
∴$\frac{1}{2}×12×AE=24$，
解得AE=4cm，
∵BE=（BC-AD）÷2=（12-6）÷2=3（cm），
∴AB=$\sqrt{{AE}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}=5$（cm）．

（2）如图②，延长AD交直线L于点F，，
∵DF=（BC-AD）÷2=（12-6）÷2=3（cm），
∴AF=AD+DF=6+3=9（cm），
∵9÷（1+1）=9÷2=4.5（s），
∴t等于4.5s时，直线L与点P相遇．
∵12÷（1+1）=12÷2=6（s），
∴t等于6s时，直线L与点Q相遇．

（3）①如图③，当0＜t≤3时，作AE⊥BC于点E，延长AD交直线L于点F，，
由（1），可得AE=4cm，BE=3cm，
∴tan∠C=tan∠B=$\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{MN}{CM}=\frac{4}{3}$，
即$\frac{MN}{t}$=$\frac{4}{3}$，
解得MN=$\frac{4}{3}$t，
∴FN=4-$\frac{4}{3}$t，
S=S_梯形ABCD-S_{平行四边形ABQP}-S_△PDN-S_△CMN
=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AE-BQ•AE-$\frac{1}{2}PD•FN$-$\frac{1}{2}CM•MN$
=$\frac{1}{2}×（6+12）×4$-4t-$\frac{1}{2}$（6-t）×（4-$\frac{4}{3}$t）-$\frac{1}{2}$t×$\frac{4}{3}$t
=36-4t-12+6t-$\frac{2}{3}$t²-$\frac{2}{3}$t²
=-$\frac{4}{3}$t²+2t+24
∵S=-$\frac{4}{3}$t²+2t+24
=-$\frac{4}{3}$（t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{16}$）+24.75
=-$\frac{4}{3}$（t-$\frac{3}{4}$）²+24.75
∴t=$\frac{3}{4}$时，S有最大值，最大值是24.75．

②如图④，当3＜t≤4.5时，，
∵PN=AD-AP-DN=6-t-（t-3）=9-2t，
QM=BC-BQ-CM=12-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$（PN+QM）•MN
=$\frac{1}{2}$（9-2t+12-2t）×4
=-8t+42
∵3＜t≤4.5时，S关于t单调递减，且-8×3+42=18，
∴S的最大值小于18．

③如图⑤，当4.5＜t≤6时，，
∵PN=AP+DN-AD=t+（t-3）-6=2t-9，
QM=BC-BQ-CM=12-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$（PN+QM）•MN
=$\frac{1}{2}$（2t-9+12-2t）×4
=6

④如图⑥，当6＜t≤9时，，
∵PN=AD-AN-PD=6-（12-3-t）-（t-6）=3，
QM=BC+CM-BC=2t-12，
∴S=$\frac{1}{2}$（PN+QM）•MN
=$\frac{1}{2}$（3+2t-12）×4
=4t-18
∵6＜t≤9，
∴当t=9时，S的最大值是：4×9-18=18．

⑤如图⑦，当9＜t≤12时，，
直线L与折线CDA没有交点．
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{4}{3}t}^{2}+2t+24（0＜t≤3）}\\{-8t+42（3＜t≤4.5）}\\{6（4.5＜t≤6）}\\{4t-18（6＜t≤9）}\end{array}\right.$
t=$\frac{3}{4}$时，S有最大值，最大值是24.75．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了梯形、三角形的面积的求法，要熟练掌握．