Question

已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP=CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y=-x²+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP=∠DAC=90°-∠AOD；
正方形OABC中，OA=OC=4，∠AOP=∠OCD=90°，即：
∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP=CD．

（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH=∠PAO=90°-∠APO；
又∵∠POH=∠COD，
∴∠COD=∠PAO；
在△AOP与△OCD中，
∵，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP=CD=-t，则：BD=BC+CD=4-t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：
=，得：=
解得：t=2-2或t=2+2（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA=AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：=，所以OP=BD，即：
t=4-t，t=2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得t=2+2；
综上，t₁=2，t₂=，t₃=．

（3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：
①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP=CD；
若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，-t），代入抛物线y=-x²+x+4中，得：
-t²+t+4=-t，即：t²-10t-24=0，
解得：t₁=-2，t₂=12；
②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且AD=PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC=QD=|t-4|，Q（t，t）或（8-t，t）；
Q（t，t）时，t=-t²+t+4，即：t²+2t-24=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=-6；
Q（8-t，t）时，t=-（8-t）²+（8-t）+4，即：t²-6t+8=0，
解得 t₁=4（舍）、t₂=2．
综上可知，t₁=2，t₂=12，t₃=-6，t₄=-2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．
分析：（1）证OP=CD，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：△AOP≌△OCD；已知的条件有：∠AOP=∠OCD=90°，OA=OC=4，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现∠OAP、∠HAP是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证．
（2）点P在x轴上运动，那么就需分三种情况讨论：
①点P在x轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明△AOP、△OCD全等，那么得到的条件是OP=CD，然后用t表示OP、BD的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时t的值，要注意t的正负值的判断；
②点P在线段OC上时；由于OP、CD都小于等于正方形的边长（即OA、AB），所以只有OP=BD时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出t的值；
③点P在点C的右侧时；方法同①．
（3）这道题要分两种情况讨论：
①线段PC为平行四边形的对角线，那么点Q、D关于PC的中点对称，即两点的纵坐标互为相反数，而QP∥CD，即Q、P的横坐标相同，那么先用t表示出Q点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定t的值；
②线段PC为平行四边形的边；先用t表示出PC的长，把点D向左或向右平移PC长个单位就能表达出点Q的坐标，代入抛物线解析式后即可得到t的值．
点评：此题是二次函数与几何的综合题，主要涉及了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质、平行四边形的特点等重点知识；题目解题的思路并不复杂，但难度在于涉及的情况太多，需要分情况逐一进行讨论，容易漏解．