Question

12．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果$\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{AC}$，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为s的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果$\frac{{s}_{1}}{s}$=$\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在三角形ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是三角形ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形ABC的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB边上的黄金分割点）作直线DF，且DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是三角形ABC的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF平行AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

Answer 1

分析 （1）设△ABC边AB上的高为h，由三角形的面积得出$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，由点D为AB上的黄金分割点，得出$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，得出$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，即可得出结果；
（2）由三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，则$\frac{{S}_{1}}{S}$≠$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，即可得出结果；
（3）由DF∥CE和三角形的面积关系得出S_△DEC=S_△FCE，由S_△DGC=S_△FGC，推出S_△ADC=S_{四边形AFGD}+S_△FGC=S_{四边形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，S_{四边形BEFC}=S_△BDC，再由$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，得出$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{{S}_{四边形BEFC}}{{S}_{△AEF}}$，即可得出结果；
（4）画法一：取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；
画法二：在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

解答 （1）解：直线CD是△ABC的黄金分割线，正确，理由如下：设△ABC边AB上的高为h，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•h，S_△BDC=$\frac{1}{2}$BD•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h，
∴$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{AD}$，
∵点D为AB上的黄金分割点，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）证明：∵三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，
∴S₁=S₂=$\frac{1}{2}$S，即$\frac{{S}_{1}}{S}$≠$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$，
∴三角形的中位线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）证明：∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
设直线EF与直线CD交于点G，如图1所示：
∵S_△DGC=S_△FGC，
∴S_△ADC=S_{四边形AFGD}+S_△FGC=S_{四边形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_{四边形BEFC}=S_△BDC，
∵$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△ADC}}$，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{{S}_{四边形BEFC}}{{S}_{△AEF}}$，
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（4）解：画法一：取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N点，
则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；如图2所示：
画法二：在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，作直线MN，
则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线，如图3所示．

点评 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、黄金分割、三角形的面积等知识；本题综合性强，有一定难度，关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．