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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知直线与直线相交于点A,与轴相交于点B,与轴相交于点C,抛物线经过点O、点A和点B,已知点A轴的距离等于2.

1)求抛物线的解析式;

2)点H为直线上方抛物线上一动点,当点H的距离最大时,求点H的坐标;

3)如图,P为射线OA的一个动点,点P从点O出发,沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动,以OP为边在OA的上方作正方形OPMN,设正方形POMNOAC重叠的面积为S,设移动时间为t秒,直接写出St之间的函数关系式.

【答案】(1);(2)H;(2,2); (3).

【解析】

1)根据题意求出AB坐标,由图像可知,图像经过原点,则c=0,设出抛物线解析式为,将A4,2)、B6,0)代入,即可得到答案.

2)设H, ,HD,HD时,点H的距离最大.设直线HD的解析式,并与抛物线解析式联立,得到一元二次方程,因为由函数图像可知,直线HD,有且只有一个交点,所以=0,求出c,进而求出H坐标,得到答案.

(3)通过运动过程中,分情况讨论,并将不规则图像利用分割法求解即可.

1)由点A轴的距离等于2得知,A的纵坐标是2

y=2时,代入,得,则A4,2

x=0时,代入,得y=6,B6,0

由图像可知,图像经过原点,则c=0,则抛物线解析式为

A4,2)、B6,0)代入

解得

所以抛物线的解析式

2

H, ,HD,HD时,点H的距离最大.

设直线HD的解析式,则

化简得:

由函数图像可知,直线HD,有且只有一个交点,所以=

所以c=1

c=1时,即为

,

所以H2,2

综上所述,点H为直线上方抛物线上一动点,当点H的距离最大时,点H的坐标H2,2.

3)第一种情况:下图:P点由O点运动到图(2)位置(M正好在AC上)轴时.

,由题意得:OP=ON=,则MN=.

=-

=

=

=

=

CDAO,于点D,交y轴于点Q

,可知B6,0),C0,6),则OC=6

由(1)可知A(4,2),可知:

通过解直角三角形方法可知:即:

解得AD=,利用勾股定理得

CDMP

解得

所以

第二种情况:下图:P点图(1)位置(M正好在AC上)轴运动到O点运动到时.

取中间过程图分析面积:

CDAO,于点D,交MN轴于点EMNAC于点F,MPAC于点I.

由情况一可知,代入得:

所以,

CDAP

∴MP∥CD,

,则

=--

=-

=

当AO=OP时,是临界点,此时,t=2

综上所述:

第三种情况:下图:P点图(1)位置(P与A点重合)运动到MN经过点C时.

取中间过程图分析面积:

MN交y轴于点Q,交BC于点D,由题意知:

=

此时=--

=-

=

临界点范围求值:

作CG⊥OP于点G,

OP=MP=CG=

OP=解得:

第四种情况:下图:当△AOC完全被正方形覆盖时:

此时正方形边长>△AOCAO边上的高,即,t

==A点横坐标=

即当tS=12

综上所述

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x

3

2

1

0

1

y

0

3

4

3

0

1)求这个二次函数的表达式;

2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

3)当4x1时,直接写出y的取值范围.

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A.已知:在⊙O中,∠AOB=COD,弧AB=CD.求证:AB=CD

B.已知:在⊙O中,∠AOB=COD,弧AB=BC.求证:AD=BC

C.已知:在⊙O中,∠AOB=COD.求证:弧AD=BCAD=BC

D.已知:在⊙O中,∠AOB=COD.求证:弧AB=CDAB=CD

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