【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知直线与直线相交于点A,与轴相交于点B,与轴相交于点C,抛物线经过点O、点A和点B,已知点A到轴的距离等于2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点H为直线上方抛物线上一动点,当点H到的距离最大时,求点H的坐标;
(3)如图,P为射线OA的一个动点,点P从点O出发,沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动,以OP为边在OA的上方作正方形OPMN,设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S,设移动时间为t秒,直接写出S与t之间的函数关系式.
【答案】(1);(2)H;(2,2); (3).
【解析】
(1)根据题意求出A、B坐标,由图像可知,图像经过原点,则c=0,设出抛物线解析式为,将A(4,2)、B(6,0)代入,即可得到答案.
(2)设H(, ),作HD∥,当HD∥时,点H到的距离最大.设直线HD的解析式,并与抛物线解析式联立,得到一元二次方程,因为由函数图像可知,直线HD与,有且只有一个交点,所以△=0,求出c,进而求出H坐标,得到答案.
(3)通过运动过程中,分情况讨论,并将不规则图像利用分割法求解即可.
(1)由点A到轴的距离等于2得知,A的纵坐标是2
当y=2时,代入,得,则A(4,2)
当x=0时,代入,得y=6,则B(6,0)
由图像可知,图像经过原点,则c=0,则抛物线解析式为
将A(4,2)、B(6,0)代入
解得
所以抛物线的解析式
(2)
设H(, ),作HD∥,当HD∥时,点H到的距离最大.
设直线HD的解析式,则
得化简得:
由函数图像可知,直线HD与,有且只有一个交点,所以△=
所以c=1
当c=1时,即为,
即,则
所以H(2,2)
综上所述,点H为直线上方抛物线上一动点,当点H到的距离最大时,点H的坐标H(2,2).
(3)第一种情况:下图:P点由O点运动到图(2)位置(M正好在AC上)轴时.
,由题意得:OP=ON=,则MN=.
=-
=
=
=
=
作CD⊥AO,于点D,交y轴于点Q
由:,可知B(6,0),C(0,6),则OC=6,
由(1)可知A(4,2),可知: ,
通过解直角三角形方法可知:即:
解得AD=,利用勾股定理得
∴
∵CD⊥,MP⊥
∴即解得
所以
第二种情况:下图:P点图(1)位置(M正好在AC上)轴运动到O点运动到时.
取中间过程图分析面积:
作CD⊥AO,于点D,交MN轴于点E,MN交AC于点F,MP交AC于点I.
由情况一可知则,代入得:
所以,
∴
∵CD⊥,AP⊥
∴MP∥CD,
∴,则
∴
=--
=-
=
当AO=OP时,是临界点,此时,t=2
综上所述:
第三种情况:下图:P点图(1)位置(P与A点重合)运动到MN经过点C时.
取中间过程图分析面积:
MN交y轴于点Q,交BC于点D,由题意知:,
=
此时=--
=-
=
临界点范围求值:
作CG⊥OP于点G,
OP=MP=CG=
OP=即解得:
第四种情况:下图:当△AOC完全被正方形覆盖时:
此时正方形边长>△AOC中AO边上的高,即>,得t>
==A点横坐标=
即当t>,S=12
综上所述
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线AC与⊙O相切于点A,点B为⊙O上一点,且OC⊥OB于点O,连接AB交OC于点D.
(1)求证:AC=CD;
(2)若AC=3,OB=4,求OD的长度.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+ax+a(a≠0)交x轴于点A和点B(点A在点B左边),交y轴于点C,连接AC,tan∠CAO=3.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,D是第一象限的抛物线上一点,连接DB,将线段DB绕点D顺时针旋转90°,得到线段DE(点B与点E为对应点),点E恰好落在y轴上,求点D的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作x轴的垂线,垂足为H,点F在第二象限的抛物线上,连接DF交y轴于点G,连接GH,sin∠DGH=,以DF为边作正方形DFMN,P为FM上一点,连接PN,将△MPN沿PN翻折得到△TPN(点M与点T为对应点),连接DT并延长与NP的延长线交于点K,连接FK,若FK=,求cos∠KDN的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在⊙O中,点C为 的中点,∠ACB=120°,OC的延长线与AD交于点D,且∠D=∠B.
(1)求证:AD与⊙O相切;
(2)若CE=4,求弦AB的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点A(1,3)为双曲线上的一点,连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B,M为轴正半轴一上点,连接MA并延长与双曲线交于点N,连接BM、BN,已知△MBN的面积为,则点N的坐标为__________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | … |
y | … | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | … |
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)当4<x<1时,直接写出y的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将命题“在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式,下列正确的是( )
A.已知:在⊙O中,∠AOB=∠COD,弧AB=弧CD.求证:AB=CD
B.已知:在⊙O中,∠AOB=∠COD,弧AB=弧BC.求证:AD=BC
C.已知:在⊙O中,∠AOB=∠COD.求证:弧AD=弧BC,AD=BC
D.已知:在⊙O中,∠AOB=∠COD.求证:弧AB=弧CD,AB=CD
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=6,D是BC上一点,CD=2,过点D的直线l将△ABC分成两部分,使其所分成的三角形与△ABC相似,若直线l与△ABC另一边的交点为点P,则DP=________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax2+4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于点B,且点B的横坐标为5,抛物线与y轴交于点C(0,6),A是抛物线的顶点,P和Q分别是x轴和y轴上的两个动点,则AQ+QP+PB的最小值为_____.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com