Question

19．如图△ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD•AB=AE•AC，AG平分∠BAC交DE于点F，交BC于点G，若△ADE的面积等于四边形BCED面积的一半，则AF：AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由AD•AB=AE•AC，得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，推出△ADE∽△ACB，得到∠AED=∠B，$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，由于AG平分∠BAC，于是得到∠BAG=∠CAG，证得△AEF∽△ABG，即可得到结论．

解答 解：∵AD•AB=AE•AC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠B，
∵△ADE的面积等于四边形BCED面积的一半，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∴△AEF∽△ABG，
∴$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．