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    20．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

    （1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），证明：△ACF≌△ABD
    （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；
    （3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．

    分析 （1）根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，
    （2）先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
    （3）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．

    解答 解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
    ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
    ∴∠CAF=∠BAD，
    在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△ACF≌△ABD（SAS），
    （2）∵∠CAB=∠DAF=90°，
    ∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
    即∠CAF=∠BAD，
    在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△ACF≌△ABD（SAS），
    ∴CF=BD，∠ACF=∠B，
    ∵AB=AC，∠BAC=90°，
    ∴∠B=∠ACB=45°，
    ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
    ∴CF⊥BD；

    （2）如图，

    过点A作AE⊥AC交BC于E，
    ∵∠BCA=45°，
    ∴△ACE是等腰直角三角形，
    ∴AC=AE，∠AED=45°，
    ∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
    ∴∠CAF=∠EAD，
    在△ACF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAF=∠EAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△ACF≌△AED（SAS），
    ∴∠ACF=∠AED=45°，
    ∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
    ∴CF⊥BD．

    点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．

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