Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG．

△AGE与△ECF全等．

（2）解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．

证明：如图2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF．

∴AE=EF．

②过点F作FH⊥x轴于H，

由①知，FH=BE=CH，

设BH=a，则FH=a﹣1，

∴点F的坐标为F（a，a﹣1）

∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a2=2，a=± （负值不合题意，舍去），

∴ ．

∴点F的坐标为

【解析】（1）取AB的中点G，连接EG，再由已知条件利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a-1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得所求结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．