Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+1$交Rt△COD轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°后得到△COD，抛物线经过点A、C、D．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）已知在抛物线与线段AD所围成的封闭图形（不含边界）中，存在点$\frac{1}{2}$，使得△PCD是等腰三角形，求$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，分别令x=0，求出y的值，令y=0，求出x值，于是A、B两点的坐标可求出；
（2）设抛物线x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2，把A（-1，0），C（0，1），D（2，0）代入解析式，求出a、b、c的值，抛物线的解析式即可求出；
（3）首先根据勾股定理求出CD的长度，若△PCD是等腰三角形，则有以下三种情况：①当CP=CD时，②当DP=DC时，③当PC=PD时，分别求出a的取值范围即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=2；
当y=0时，由2x+2=0得x=-1．
∴A（-1，0），B（0，2）；

（2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2，
∴C（0，1），D（2，0）．
设抛物线x的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=1\\ 4a+2b+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1；

（3）在Rt△COD中，由C（0，1），D（2，0）可得CD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
若△PCD是等腰三角形，则有以下三种情况：
①当CP=CD时，此时点P在抛物线l与线段AD所围成的封闭图形外，不合题意；
②当DP=DC时，以点D为圆心，DC长为半径画弧交x轴于点H，此时点P在$\widehat{CH}$上（不含点C、H），
此时a的取值范围是-$\sqrt{5}$+2＜a＜0；          
③当PC=PD时，作线段CD的垂直平分线FG，交CD于点E，交x轴于点F，交抛物线于点G．
此时点P在线段FG上（不含点F、G、E），
求得 E（1，$\frac{1}{2}$），DE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
在Rt△DEF，Rt△DOC中，cos∠CDO=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DO}{DC}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{DF}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得DF=$\frac{5}{4}$，
∴OF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，即F（$\frac{3}{4}$，0）．
易得过E、F的直线解析式是y=2x-$\frac{3}{2}$，联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}y=2x-\frac{3}{2}\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$（舍去），
∴点G的横坐标是$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，
此时a的取值范围是$\frac{3}{4}$＜a＜$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，且a≠1．
综合①②③，当△PCD是等腰三角形时，a的取值范围是-$\sqrt{5}$+2＜a＜0或$\frac{3}{4}$＜a＜$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，且a≠1．

点评 本题考查了二次函数的综合题，此题设计直线与抛物线的交点问题，解答（3）问时需要进行分类讨论，此问同学们容易出现讨论不全的情况，此题难度较大