Question

如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）已知点P为⊙O上一点，且tan∠APD=，连CP，求sin∠CPD的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠B+∠E=90°，
又∵OB=OC，CF=EF，
∴∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，
∴∠BCO+∠ECF=90°，
∴∠FCO=90°，
∴CF是⊙O切线；

（2）解：∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，
∴tan∠APD=tan∠B==，
设CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，
∴R²=t²+（2t-R）²，
∴R=，
∴sin∠CPD=sin∠COM==．
分析：（1）连接OC，由于AB是直径，那么∠BAE=90°，则∠B+∠E=90°，而OB=OC，CF=EF，可知∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，易证∠BCO+∠ECF=90°，于是∠FCO=90°，于是CF是⊙O切线；
（2）由于AB⊥CD，利用垂径定理有弧AC=弧AD，那么∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，从而有tan∠APD=tan∠B==，再CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，根据勾股定理有R²=t²+（2t-R）²，可得R=t，进而可求sin∠CPD．
点评：本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的计算、圆周角定理．解题的关键是连接OC，证明∠BCO+∠ECF=90°，并求出R=．