Question

（2014•福鼎市模拟）在△ABC中，P是BA延长线上一点，AE是∠CAP的平分线，CE⊥AE于E，BD⊥EA延长线于D．
（1）若四边形BCED是正方形（如图①），AB、AC分别于CD、BE相交于点M、N，求证：△ADM≌△AEN．
（2）如图②，若AD=kAE，BE、CD相交于F．试探究EF、BF之间的数量关系，并说明理由．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析：（1）先根据对顶角相等得出∠DAB=∠PAE，再由AE平分∠PAC，∠DAB=∠EAC，根据四边形BCED是正方形，可知BD=CE，∠BDA=∠CEA=90°，由ASA定理得出△DAB≌△EAC（ASA），故可得出AD=AE，再由BE、CD是正方形BCDE的对角线可知∠MDA=∠NEA，由此即可得出结论；
（2）由（1）得∠DAB=∠EAC，再由相似三角形的判定定理得出△ABD∽△ACE，由AD=kAE可知

BD

CE

=

AD

AE

=k，根据BD∥CE，可得出∠FDB=∠FCE，∠FBD=∠FEC，故△DFB∽△CFE，根据相似三角形的性质可知

BF

EF

=

BD

CE

=k，由此即可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠DAB=∠PAE，AE平分∠PAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又∵四边形BCED是正方形，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△DAB与△EAC中，

∠BDA=∠CEA BD=CE ∠ABD=∠ACE

，
∴△DAB≌△EAC（ASA），
∴AD=AE，
∵BE、CD是正方形BCDE的对角线，
∴∠MDA=∠NEA，
在△ADM与△AEN中，

∠DAB=∠EAC AD=AE ∠MDA=∠NEA

，
∴△ADM≌△AEN（SAS）；

（2）猜想：BF=kEF（或EF=

1

k

BF）．
证明：由（1）得∠DAB=∠EAC，
∵∠BDA=∠CEA=90°，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=kAE，
∴

BD

CE

=

AD

AE

=k，
∵BD∥CE，
∴∠FDB=∠FCE，∠FBD=∠FEC，
∴△DFB∽△CFE，
∴

BF

EF

=

BD

CE

=k，
∴BF=kEF（或EF=

1

k

BF）．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到全等三角形及相似三角形的判定与性质，难度适中．