Question

4．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．
（1）求证：DC=BC；
（2）若AB=10，AC=8，求tan∠DCE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，求证DC=BC可以证明∠CAD=∠BAC，进而证明 $\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$；
（2）根据勾股定理就可以得到BC=6，易证△ACE∽△ABC，则∠DCE=∠BAC，则tan∠DCE的值等于tan∠BAC，在直角△ABC中根据三角函数的定义就可以求出．

解答 （1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠OCE=90°．
∴OC∥AE．
∴∠OCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BAC．
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$．
∴DC=BC．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6．
∵∠CAE=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC．
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$．
∴$\frac{EC}{6}$=$\frac{8}{10}$，
∴EC=$\frac{24}{5}$，
∵DC=BC=6，
∴ED=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴tan∠DCE=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{\frac{18}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的定义，三角函数值只与角的大小有关．注意证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．