Question

【题目】如图，为的直径，且，为上一点，平分交于点，，，于，为半圆弧的中点，交于点.

（1）求的长；

（2）求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）连接EB，OC交于M，根据角平分线定义得到∠DAC=∠BAC，根据垂径定理得到OC⊥BE，推出四边形MCDE是矩形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设，由F为半圆弧AB的中点，得到∠AEF=∠BEF，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）连接EB，OC交于M，
∵AC平分∠DAB交⊙O于点E，
∴∠DAC=∠BAC，
∴ ，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE⊥AD，
∵AD⊥CD于D，
∴四边形MCDE是矩形，
∵AE=6，AB=10，
∴ ；
（2）过G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，设，
∵F为半圆弧AB的中点，
∴，
∴，

∵平分，

∴G点为的内接圆心，
∵，
即是： ，
∴，
∴在等腰直角中： ．