Question

17．如图，已知抛物线y=ax²-2ax+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若过A、B、C三点作一个外接圆，请求出这个圆的圆心M的坐标；
（3）在坐标平面内点P到A、B、C三点的距离分别为d₁、d₂、d₃，若d₁=2d₂=d₃，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出C点的坐标，再根据OB=OC得出B的坐标，最后把B代入解析式求出a即可，
（2）先求出AB的中垂线和CB的中垂线的解析式，求出AB、CB的交点为（1，1），即可得出这个圆的圆心的坐标，
（3）先求出A点和AC中点N的坐标，再根据M的坐标为（1，1），求出线段AC中垂线MN的解析式，根据d₁=2d₂=d₃，得出点P在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$），根据$\sqrt{（x+2）^{2}+（-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{（x-4）^{2}+（-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）^{2}}$，求出x即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax+4与y轴交于点C，
∴C点的坐标为（0，4），
∴OC=4
∴OB=OC=4
∴B（4，0），
把B（4，0）代入解析式得方程0=16a-8a+4，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
（2）∵AB的中垂线的解析式为x=1，CB的中垂线的解析式为y=x，
∴AB、CB的交点为（1，1），
∴这个圆的圆心M的坐标为（1，1），
（3）由y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4得A点的坐标为（-2，0），
设AC的中点为N，
则点N的坐标为（-1，2）
∵M的坐标为（1，1），
设线段AC中垂线MN的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2=-k+b}\\{1=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴线段AC中垂线MN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∵d₁=2d₂=d₃，
∴点P在y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$）
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+（-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{（x-4）^{2}+（-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）^{2}}$，
整理得 5x²-54x+89=0
解得 x₁=$\frac{27+2\sqrt{71}}{5}$，x₂=$\frac{27-2\sqrt{71}}{5}$，
∴点P的坐标为（$\frac{27+2\sqrt{71}}{5}$，-$\frac{6+\sqrt{71}}{5}$）或（$\frac{27-2\sqrt{71}}{5}$，-$\frac{6-\sqrt{71}}{5}$）．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形的外心、勾股定理、一元二次方程，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，得出点P的坐标．