Question

5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，O是BC中点，将△ABO绕点O旋转180°至△ECO．
（1）猜想并证明线段AC与BE有什么关系；
（2）给梯形ABCD添加一个条件，使四边形ABCE是矩形，证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）AC与BE平行且相等，理由为：由旋转的性质得到三角形ABO与三角形ECO全等，利用全等三角形对应边相等得到OA=OE，OB=OC，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABEC为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等即可得证；
（2）若∠ABC=60°，四边形ABCE为矩形，理由为：由题意得到梯形ABCD为上底与腰相等的等腰梯形，进而求出∠ACB=30°，确定出∠BAC为直角，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即可得证．

解答 解：（1）AC=BE，AC∥BE，理由为：
∵△ABO绕点O旋转180°至△ECO，
∴△ABO≌△ECO，
∴OA=OE，OB=OC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC=BE，AC∥BE；
（2）若∠ABC=60°，四边形ABCE为矩形，理由为：
∵∠ABC=∠DCB=60°，AD∥BC，且AB=DC=AD，
∴∠D=120°，∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵四边形ABEC为平行四边形，
∴四边形ABEC为矩形．

点评 此题考查了旋转的性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，以及等腰梯形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．