Question

一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为

 

，周长为

 

；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为

 

，周长为

 

；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

Answer 1

分析：（1）由等腰直角三角形的性质：底边上的中线与底边上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，则重叠部分的面积是△ACB的面积的一半，为

1

4

a²，周长为（1+

2

）a．
（2）易得重叠部分是正方形，边长为

1

2

a，面积为

1

4

a²，周长为2a．
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．

解答：解：（1）∵AM=MC=

2

2

AC=

2

2

a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为

1

4

a²，周长为（1+

2

）a．

（2）∵叠部分是正方形
∴边长为

1

2

a，面积为

1

4

a²，周长为2a．

（3）猜想：重叠部分的面积为

1

4

a2．
理由如下：
过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a
∴MH=MG=

1

2

a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=

1

2

a×

1

2

a=

1

4

a2
∴阴影部分的面积是

1

4

a2．

点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．