Question

下表给出了代数式x²+bx+c与x的一些对应值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格空白处的对应值；
（2）设y=x²+bx+c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）可先任取两组已知的数据求出抛物线y=x²+bx+c的解析式，然后将x=-1，x=1，x=3的值分别代入抛物线的解析式中，即可求出y的值，即x²+bx+c的值．
（2）本题可先求出△PEC的面积和P点坐标之间的函数关系式，然后根据函数的性质进行求解．由于三角形PEC的面积无法直接求出，因此可用S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE来求．设出P点的坐标，然后表示出BP的长，那么关键就是△PBE的高，可过E作x轴的垂线，然后根据相似三角形BPE和BAC来求出△PBE的高，进而可根据上面分析的△PEC面积的求法得出关于S与P点横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质即可得出S的最大值以及对应的P点的坐标．

解答：解：（1）当x=0和x=4时，均有函数值y=3，
∴函数的对称轴为x=2
∴顶点坐标为（2，-1）
即对应关系满足y=（x-2）²-1，
∴y=x²-4x+3，
∴当x=-1时，y=8；x=1时，y=0；x=3时，y=0．

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
x2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2分）

（2）解：函数图象与x轴交于A（1，0）、B（3，0）；
与y轴交于点C（0，3），

设P点坐标为（x，0），则PB=3-x，
∴S_△BCP=

3

2

（3-x），
∵PE∥AC，
∴△BEP∽△BCA作EF⊥OB于F，
∴

BP

BA

=

EF

CO

，
即

3-x

2

=

EF

3

，
∴EF=

3

2

（3-x），
∴S_△BPE=

1

2

BP•EF=

3

4

（3-x）²
∵S_△PEC=S_△BCP-S_△BPE
∴S_△PEC=

3

2

（3-x）-

3

4

（3-x）²
S_△PEC=-

3

4

x²+3x-

9

4

=-

3

4

（x-2）²+

3

4

∴当x=2时，y_最大=

3

4

∴P点坐标是（2，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形的面积求法、三角形相似等重要知识点，考查学生数形结合的数学思想方法．（不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．