Question

【题目】如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，连接AF、DC．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）若AC＝BC，判断四边形ADCF的形状，无需说明理由；

（3）若∠ACB＝90°，判断四边形ADCF的形状，无需说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形ADCF是矩形；（3）四边形ADCF是菱形．

【解析】

（1）可先证得△AED≌△CEF，可证得ED＝EF，可证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明四边形ADCF是平行四边形，再得出AC＝DF即可.

（3）根据DF∥BC，证明AC⊥DF即可.

（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，

∴E为AC中点，

∴AE＝EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE＝∠DFC，

在△ADE和△CFE中，

∵，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE＝FE

∴四边形ADCF是平行四边形．

（2）解：四边形ADCF是矩形．

理由：∵DE＝FE，AE＝AC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AD＝CF，

∵AD＝BD，

∴BD＝CF，又因为BD∥CF

∴四边形DBCF为平行四边形，

∴BC＝DF，

∵AC＝BC，

∴AC＝DF，

∴平行四边形ADCF是矩形．

（3）解：四边形ADCF是菱形．

理由：∵DF∥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴AC⊥DF，

∵四边形ADCF是平行四边形，

∴四边形ADCF是菱形．