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    2．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
    （1）出发2秒后，求PQ的长；
    （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，△PQB能形成等腰三角形？
    （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．

    分析 （1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
    （2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
    （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

    解答 解：
    （1）当t=2时，则AP=2，BQ=2t=4，
    ∵AB=8cm，
    ∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
    在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm），
    即PQ的长为2$\sqrt{13}$cm；
    （2）由题意可知AP=t，BQ=2t，
    ∵AB=8，
    ∴BP=AB-AP=8-t，
    当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即8-t=2t，解得t=$\frac{8}{3}$，
    ∴出发$\frac{8}{3}$秒后△PQB能形成等腰三角形；
    （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
    当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
    ∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
    ∵△BCQ为等腰三角形，
    ∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况，
    ①当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，
    则CD=$\frac{1}{2}$CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=$\frac{24}{5}$，

    在Rt△BCD中中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（$\frac{24}{5}$）2+（t-3）2，解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
    ②当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6；
    ③当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
    ∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
    ∴∠A=∠QBA，
    ∴QB=QA，
    ∴CQ=$\frac{1}{2}$AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
    综上可知当t的值为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形时．

    点评 本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．

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    12．解方程：
    ①3x（2x+1）=4x+2        
    ②x2-5x+1=0．

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    13．解方程：
    （1）x2-4x-7=0；
    （2）x2-4x-12=0．

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    10．阅读下面材料，回答问题．
    中国自古便有“十天干”与“十二地支”的说法，简称“干支”，源于树木的干和枝．
    十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
    十位天干和十二位地支依次顺位相搭配，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑…辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑…
    十位天干和十二位地支依次顺位相搭配，60年为一个最小循环；
    十二地支又与十二生肖依次顺位相对应：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．
    公元纪年换算成干支纪年，有下面的一种简便方法：
    我们以2010年为例；
    天干算法：2010-3=2007，2007÷10=200余7，7对应天干第7位是庚，即天干为庚；（用公元纪年数减3，除以10（不管商数）所得余数，就是天干所对应的位数）
    地支算法：2010-3=2007，2007÷12=167余3，3对应地支第3位是寅，即地支为寅；（用公元纪年数减3，除以12（不管商数）所得余数，就是地支所对应的位数）
    综上公元2010是用天干地支纪年为庚寅年．
    根据以上材料，填空，并简述计算过程及解题思路：
    2016年8月，郝景芳的小说《北京折叠》获得第74届雨果奖．这是继刘慈欣的《三体》之后我国作家第二次获得该奖项．郝景芳1984年07月27生于天津，用干支纪年法她生于甲子年；郝景芳的生肖（属相）是属蛇．

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    17．如图，△ABC中，AB=4，点D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD，设S△ABC=S，S△DCE=S1．
    （1）当D为AB中点时，求S1：S的值．
    （2）若AD=x，$\frac{{S}_{1}}{S}$=y，试用x的代数式表示y，并求x的取值范围；
    （3）是否存在点D，使得S1＞$\frac{1}{4}$S成立？若存在，求出点D的位置；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．己知，点A、B分别在x轴、y轴上，M（m，m）是边AB上的一点，CM⊥AB交X轴正半轴于点C．己知m满足（m2+4m+3）-（m2-4）=15
    （1）求M的坐标；
    （2）如图1，求OB+OC的值；
    （3）如图2，延长MC交y轴于点D，求S△ACM-S△OCD的值；
    （4）如图3，点P为AM上任意一点（P不与A、M重合），过A作AE⊥DP，点E为垂足，连EM，求∠DEM的度数．

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    14．如图，是用火柴棍摆成边长分别为1，2，3根火柴棍长的正方形，当边长为n根火柴棍长时，摆出的正方形所用的火柴棍的根数是2n（n+1）（用含n的式子表示，n为正整数）．

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    11．某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投入市场，现有红星和巨星两个工厂都想加工这批产品．已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司每天需付红星厂加工费80元，巨星厂加工费120元．
    （1）这个公司要加工多少件新产品？
    （2）在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    12．已知$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{4}$，则$\frac{a-b}{b}$的值为-$\frac{3}{4}$．

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