Question

7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，E是BC边上的中点，AE平分∠DAB，∠ADE=30°，下面有五个结论：
①DE平分∠ADC；②AB+CD=AD；③S_{四边形ABCD}=2S_△ADE；④△ADE不是直角三角形；⑤AD=2AE，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线的性质定理得到EF=EB，加上EB=EC，则EF=EC，所以根据角平分线性质定理的逆定理得到∴E平分∠ADC，则可对①进行判定；再利用“HL”可证明Rt△ABE≌Rt△AFE得到AB=AF，证明Rt△DFE≌Rt△DCE得到DF=DC，则AD=AF+DF=AB+CD，则可对②进行判断；接着利用Rt△ABE≌Rt△AFE，Rt△DFE≌Rt△DCE得到S_△ABE=S_△AFE，S_△DFE=S_△DCE，则可对③进行判断；利用Rt△ABE≌Rt△AFE，Rt△DFE≌Rt△DCE得到∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角的定义可计算出∠2+∠3=90°，则可对④进行判断；然后根据∠ADE=30°可对⑤进行判断．

解答 解：作EF⊥AD于F，如图，
∵AE平分∠DAB，EB⊥AB，EF⊥AD，
∴EF=EB，
∵E是BC边上的中点，
∴EB=EC，
∴EF=EC，
而EF⊥AD于F，EC⊥CD于C，
∴DE平分∠ADC，所以①正确；
在Rt△ABE和Rt△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AB=AF，
同理可得Rt△DFE≌Rt△DCE，
∴DF=DC，
∴AD=AF+DF=AB+CD，所以②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△AFE，Rt△DFE≌Rt△DCE，
∴S_△ABE=S_△AFE，S_△DFE=S_△DCE，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ADE，所以③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△AFE，Rt△DFE≌Rt△DCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△AED为直角三角形，所以④错误；
∵∠ADE=30°，
∴AD=2AE，所以⑤正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质定理和其逆定理．