Question

【题目】如图，已知中，，，直角的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．其中正确的有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定③正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定②正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定⑤错误， 根据=,则④错误.

∵AB=AC，∠BAC=90，点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45，

∴∠APF+∠CPF=90，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90，

∴∠APE=∠CPF，故③正确；

在△APE和△CPF中， ，

∴△APE≌△CPF(ASA)，

∴AE=CF，故①正确；

∴△EFP是等腰直角三角形，故②正确；

根据等腰直角三角形的性质，EF=PE，

所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故⑤错误；

根据=,则④错误