Question

如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．
（1）试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．

Answer 1

解：（1）CF是⊙O的切线，（如图）
CF与直线AB不相交．
证明：∵CF是⊙O的切线，
∴∠BCF=∠A，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A，
∴∠BCF=∠ABC，
∴CF∥AB，
∴CF与直线AB不相交．

（2）连接BO并延长交AC于H．
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BHC=90°，
∵点P是BC的中点，
∴∠BCE=30°．
又∵∠ACB=60°，
∴∠HCE=90°．
∵∠BEC=90°，
∴∠HBE=90°．
∴BE是⊙O的切线．
在△ACD中，
∵∠ACD=90°，∠A=60°，
∴∠D=30°，
∴BD=BC，
∴DE=CE，
∴S_△BDE=S_△BCE，
在矩形BHCE中，
S_△BCE=S_△BCH=S，
∴S_△BCE=S，
∴S_△BDE=S．
分析：（1）作⊙O的切线CF，判断出∠BCF=∠ABC，得到CF∥AB，可知CF与直线AB不相交．
（2）OB是圆O直径，证出∠HBE=90°，可得BE是⊙O的切线，并将S_△BDE转化为S_△BCE．
点评：本题综合考查了切线的判定，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．