Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）试求a，b所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax²+bx+c，
得：，
可得：a+b=-1

（2）∵a+b=-1，
∴b=-a-1代入函数的解析式得到：y=ax²-（a+1）x+1，
顶点M的纵坐标为，
因为，
由同底可知：，
整理得：a²+3a+1=0，
解得：
由图象可知：a＜0，
因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=，
∴-1＜a＜0，
∴舍去，
从而．

（3）①由图可知，A为直角顶点不可能；
②若C为直角顶点，此时C点与原点O重合，不合题意；
③若设B为直角顶点，则可知AC²=AB²+BC²，
令y=0，可得：0=ax²-（a+1）x+1，
解得：x₁=1，x₂=
得：AC=1-，BC=，AB=．
则（1-）²=（1+）+2，
解得：a=-1，由-1＜a＜0，不合题意．
所以不存在．
综上所述：不存在．
分析：（1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式．整理就得到a，b的关系．
（2）△ABC的面积可以求出是，利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMC的面积，根据，就可以得到关于a的方程，解得a的值．
（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论．
点评：本题值函数与三角形相结合的题目，注意数与形的结合是解题的关键．