Question

【题目】如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF =BC，DG∥BC且DG =BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

（2）过点O作OM⊥BC于M，由∠OCM=30°，OC=4，得到OM=OC =2，从而得到CM=，在Rt△OBM中，由∠BMO=∠OMB=45°，得到BM=OM=2，故BC=，从而有EF=．

试题解析：（1）∵ D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵ E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DE=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）过点O作OM⊥BC于M，Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4，∴OM=OC =2，∴CM=，Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，∴BM=OM=2，∴BC=，∴EF=．