Question

10．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3经过点A（-1，0）和点B（2，-1），交y轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AB、AC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上在直线AB下方的动点，直线PH⊥x轴，交AB于点H，当PH=$\frac{5}{3}$时，求点P的坐标；
（3）将△AOC沿y轴向上平移，将△ABD沿x轴向左平移，两个三角形同时开始平移，且平移的速度相同．设△AOC平移的距离为t，平移过程中两个三角形重叠部分的面积为S，当0＜t＜$\frac{9}{4}$时，请直接写出S与t的函数表达式及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，设P（m，$\frac{5}{3}$m²-$\frac{4}{3}$m-3），求出BC的解析式为，可得点H的坐标，求出PH（用t表示），列出方程即可解决问题；
（3）首先说明重叠部分是四边形EOFH，构建一次函数求出点H坐标，根据S=S_△EOH+S_△OFH计算即可解决问题；

解答 解：（1）把点A（-1，0）和点B（2，-1）代入y=ax²+bx-3
得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{4a+2b-3=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x-3．

（2）如图1中，设P（m，$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-3），

∵A（-1，0），B（2，-1），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∵直线PH⊥x轴，交AB于点H，
∴H（m，-$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$），
∴PH=-$\frac{1}{3}$m-$\frac{1}{3}$-（$\frac{4}{3}$m²-$\frac{5}{3}$m-3）=$\frac{5}{3}$，
解得m=$\frac{3}{2}$或-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{6}$）．

（3）如图2中，

设A₂C₁交A₁B₁于H，交x轴于E，A₁B₁交y轴于F，连接OH．
∵OF∥B₁D₁，
∴$\frac{O{A}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{OF}{{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴OF=$\frac{1}{3}$t，
当OF=OC₁时，$\frac{1}{3}$t=3-t，t=$\frac{9}{4}$，
∴当0＜t＜$\frac{9}{4}$时，重叠部分是四边形EOFH．
易知A₁（-1-t，0），B₁（2-t，-1），A₂（-1，t），C₁（0，-3+t），
∴直线A₁B₁的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1+t}{3}$，直线A₂C₁的解析式为y=-3x-3+t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-3+t}\\{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1+t}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2+t}{2}}\\{y=-\frac{t}{6}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{-2+t}{2}$．-$\frac{t}{6}$），
∴S=S_△EOH+S_△OFH=$\frac{1}{2}$•$\frac{3-t}{3}$•$\frac{t}{6}$+$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$t•$\frac{2-t}{2}$=-$\frac{1}{9}$t²+$\frac{1}{4}$t．（0＜t＜$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、一次函数的应用、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，学会利用分割法求 四边形的面积，属于中考压轴题．