Question

已知：如图，直线交x轴于点B，交y轴于点C，点A为x轴正半轴上一点，AO=CO，△ABC的面积为12．

（1）求b的值；
（2）若点P是线段AB中垂线上的点，是否存在这样的点P，使△PBC成为直角三角形．若存在，试直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点Q为线段AB上一个动点（点Q与点A、B不重合），QE∥AC，交BC于点E，以QE为边，在点B的异侧作正方形QEFG．设AQ=m，△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S，试求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

Answer 1

（1）4；（2），，，；（3）

试题分析：（1）先求得OB、OC的长，再由AO=BO可得点A的坐标，再根据三角形的面积公式求解；
（2）题目中没有明确直角，故要分情况讨论，再结合直角三角形的性质求解即可；
（3）设正方形QEFG与AC相交于点M，先求得，在Rt△AOC中，根据勾股定理可求得AC的长，由EQ∥AC可得，即可表示出的长，证得△QMA为等腰直角三角形，可得QM=，当时，正方形QEFG的边FG恰好与AC共线，此时，解得，再分当0＜m≤、＜m＜6两种情况分析即可.
（1）由题意得：B(，0)，C（0，b）
∴OB=，OC=b
∵AO=BO
∴A(b，0)．
∴OA=b，AB=b+=
∵
∴
解得：b₁=4，b₂=-4(舍去)
∴b=4；
（2），，，；
（3）如图，设正方形QEFG与AC相交于点M.

∵
∴
在Rt△AOC中

∵EQ∥AC
∴
∴
∵EQ∥AC
∴∠AMQ=∠EQM=90°，∠MAQ=45°
∴△QMA为等腰直角三角形
∴QM=
当时，正方形QEFG的边FG恰好与AC共线
此时，解得
当0＜m≤时，
当＜m＜6时，
∴S与m之间的函数关系式为.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．