Question

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2$\sqrt{5}$DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；
（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．

解答 （1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；

（2）证明：连接DO，
∵∠EDC=90°，F是EC的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF是⊙O的切线；

（3）解：方法一：设DE=1，则AC=2$\sqrt{5}$，
由AC²=AD×AE
∴20=AD（AD+1）
∴AD=4或-5（舍去）
∵DC²=AC²-AD²
∴DC=2，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=$\frac{AD}{DC}$=2；
方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{DE}{DC}$，
∴DC²=AD•DE
∵AC=2$\sqrt{5}$DE，
∴设DE=x，则AC=2$\sqrt{5}$x，
则AC²-AD²=AD•DE，
期（2$\sqrt{5}$x）²-AD²=AD•x，
整理得：AD²+AD•x-20x²=0，
解得：AD=4x或-5x（负数舍去），
则DC=$\sqrt{（2\sqrt{5}{x）}^{2}-（4x）^{2}}$=2x，
故tan∠ABD=tan∠ACD=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{4x}{2x}$=2．

点评 此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．