Question

如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F.

（1）求证：△OEF是等腰直角三角形.
（2）若AE=4，CF=3，求EF的长.

Answer 1

（1）根据正方形的性质可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再结合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可证得△BEO≌△CFO，从而得到结论；（2）5

试题分析：（1）根据正方形的性质可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再结合DE⊥OF可得∠EOB=∠FOC，即可证得△BEO≌△CFO，从而得到结论；
（2）由△BEO≌△CFO可得BE=CF，根据正方形的性质可得AB=BF，再根据勾股定理求解即可.
（1）∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°
又∵DE⊥OF
∴∠EOF=90°
∴∠EOB=∠FOC
∴△BEO≌△CFO
∴OE=OF
又∠EOF=90°
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△BEO≌△CFO(已证)
∴BE=CF
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BF
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF² =CF²+AE²=3²+4²=5²  
∴EF=5
点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.