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    （2013•宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

     （1）求直线AB的函数解析式；
    （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
    ①求证：∠BDE=∠ADP；
    ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
    （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
    （2）①先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
    ②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=
    		2
    DE，即y=
    		2
    x；
    （3）当
    BD
    BF
    =2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，
    OB
    HF
    =
    OD
    HB
    =
    BD
    FB
    =2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-
    1
    2
    OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=
    1
    3
    x+
    4
    3
    ，最后根据
    y=
    1
    3
    x+
    4
    3
    y=-x+4
    求出点P的坐标即可；
    当
    BD
    BF
    =
    1
    2
    时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，
    OB
    GF
    =
    OD
    GB
    =
    BD
    FB
    =
    1
    2
    ，得出FG=8，OD=
    1
    2
    BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据
    y=-
    1
    3
    x-
    4
    3
    y=-x+4
    即可求出点P的坐标．
    解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
    代入（4，0）得：4k+4=0，
    解得：k=-1，
    则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

    （2）①由已知得：
    OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
    又∵OD=OD，
    ∴△BDO≌△CDO，
    ∴∠BDO=∠CDO，
    ∵∠CDO=∠ADP，
    ∴∠BDE=∠ADP，
    ②连结PE，
    ∵∠ADP是△DPE的一个外角，
    ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
    ∵∠BDE是△ABD的一个外角，
    ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
    ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
    ∴∠DPE=∠OAB，
    ∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
    ∴∠OAB=45°，
    ∴∠DPE=45°，
    ∴∠DFE=∠DPE=45°，
    ∵DF是⊙Q的直径，
    ∴∠DEF=90°，
    ∴△DEF是等腰直角三角形，
    ∴DF=
    		2
    DE，即y=
    		2
    x；

    （3）当BD：BF=2：1时，
    过点F作FH⊥OB于点H，
    ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
    ∴∠DBO=∠BFH，
    又∵∠DOB=∠BHF=90°，
    ∴△BOD∽△FHB，
    ∴
    OB
    HF
    =
    OD
    HB
    =
    BD
    FB
    =2，
    ∴FH=2，OD=2BH，
    ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
    ∴四边形OEFH是矩形，
    ∴OE=FH=2，
    ∴EF=OH=4-
    1
    2
    OD，
    ∵DE=EF，
    ∴2+OD=4-
    1
    2
    OD，
    解得：OD=
    4
    3
    ，
    ∴点D的坐标为（0，
    4
    3
    ），
    ∴直线CD的解析式为y=
    1
    3
    x+
    4
    3
    ，
    由
    y=
    1
    3
    x+
    4
    3
    y=-x+4
    得：
    x=2
    y=2
    ，
    则点P的坐标为（2，2）；
    当
    BD
    BF
    =
    1
    2
    时，
    连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
    而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
    ∵∠DEB=∠DPA，
    ∴∠DBE=∠DAP=45°，
    ∴△DEF是等腰直角三角形，
    过点F作FG⊥OB于点G，
    同理可得：△BOD∽△FGB，
    ∴
    OB
    GF
    =
    OD
    GB
    =
    BD
    FB
    =
    1
    2
    ，
    ∴FG=8，OD=
    1
    2
    BG，
    ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
    ∴四边形OEFG是矩形，
    ∴OE=FG=8，
    ∴EF=OG=4+2OD，
    ∵DE=EF，
    ∴8-OD=4+2OD，
    OD=
    4
    3
    ，
    ∴点D的坐标为（0，-
    4
    3
    ），
    直线CD的解析式为：y=-
    1
    3
    x-
    4
    3
    ，
    由
    y=-
    1
    3
    x-
    4
    3
    y=-x+4
    得：
    x=8
    y=-4
    ，
    ∴点P的坐标为（8，-4），
    综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．
    点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．
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