Question

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数；
（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．求PH的长．

Answer 1

分析：（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点；
（2）利用（1）中图形得出C，D，E，F即可得出答案；
（3）求出MN的长度，根据勾股数的特点得出符合要求的点．

解答：解：（1）尺规作图正确（以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点）

（2））∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，
∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）如图，∵矩形ABCD中，AB=12，BC=4，DP=4，DM=8，AN=5．
过点P作直线l平行于BC，点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上，
∴ME=4，NE=3，
∴MN=5，
PM=4，PH=2时，HM=2

5

构成勾股数，
同理可得：
PH″=

13

4

或PH=2或PH′=3．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及矩形的性质和作图与应用作图等知识，熟练地应用勾股定理找出勾股点是此题的难点．