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10.已知在Rt△ABC中,AC>BC,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,过点D作DE⊥AB于点D,交∠ACB的角平分线于点E,连接AE,BE.证明:AE=EB,并且AE⊥EB.

分析 由点D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,得到DE垂直平分AB,根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE,过点E作EM⊥AC于M,EN⊥BC与N,推出Rt△AEM≌Rt△BEN,得到∠AEM=∠BEN,由于四边形CMEN是矩形,得到∠MEN=90°,等量代换即可得到结论.

解答 证明:∵点D是AB边的中点,DE⊥AB于点D,
∴DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
过点E作EM⊥AC于M,EN⊥BC与N,
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴EM=EN,
在Rt△AEM与Rt△BEN中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EM=EN}\end{array}\right.$,
∴Rt△AEM≌Rt△BEN,
∴∠AEM=∠BEN,
∵∠ACB=90°,
∴四边形CMEN是矩形,
∴∠MEN=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BE.

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

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