Question

（2012•葫芦岛二模）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点出发，沿x轴向右以每秒2个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，顶点为M．矩形ABCD的一边CD在x轴上，点C与原点重合，CD=4，BC=9，在点P运动的同时，矩形ABCD沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动．
（1）求出抛物线的解析式（用含t的代数式表示）；
（2）若（1）中的抛物线经过矩形区域ABCD（含边界）时，求出t的取值范围；
（3）当t=4秒时，过线段MP上一动点F作y轴的平行线交抛物线于E，求线段EF的最大值．

Answer 1

分析：（1）分别将点（0，0），（2t，0）代入二次函数解析式，即可得出抛物线的解析式；
（2）寻找两个临界点，①刚开始的时候，②抛物线经过点A的时候，分别求出此时t的值，继而可得出t的取值范围；
（3）先确定函数解析式，然后得出直线MP的解析式，设出点E、F的坐标，则EF之间的距离可表示为二次函数的形式，然后运用配方法求最值即可．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c中，得c=0，
再把x=2t，y=0代入y=-x²+bx中，得b=2t
故抛物线的解析式为y=-x²+2tx．

（2）∵t＞0，
∴在点P和矩形ABCD开始运动时就经过矩形区域ABCD，
当抛物线经过点A时，将A（t+4，9）代入y=-x²+2tx中，得-（t+4）²+2t（t+4）=9，
整理，解方程得：t₁=-5（舍去），t₂=5，
即可得当t＞5时，抛物线不在经过矩形区域ABCD，
综上可得t的范围为：0＜t≤5，

（3）如图，当t=4秒时，此时点D和点P重合，抛物线的解析式为y=-x²+8x．
设直线MP的解析式为y=kx+b，
∵点M（4，16）和点P（8，0）在直线MP上，
∴

4k+b=16 8k+b=0

，
得

k=-4 b=32

，
∴直线MP的解析式为y=-4x+32；
设F（m，-4m+32），则E（m，-m²+8m），
∵点F在线段MP上运动，
∴4≤m≤8，
∴EF=-m²+8m-（-4m+32）=-m²+12m-32，
∴当m=-

b

2a

=6时，EF=

4ac-b2

4a

=

4×(-1)×(-32)-122

4×(-1)

=

16

4

=4，
∴线段EF的最大值是4．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，解答第二问的时候关键是求出两个边界点，第三问的解答中要求出直线MP的解析式，利用二次函数的最值法求解．