Question

如图①A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD．
（1）图①中有________对全等三角形，并把它们写出来________；
（2）求证：BD与EF互相平分于G；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．

Answer 1

解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．

（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED=BF．
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，
∴∠EDG=∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，
△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，DG=BG，
所以BD与EF互相平分于G；

（3）第（2）题中的结论成立，
理由：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴BF=ED．
∵∠BFG=∠DEG=90°，
∴BF∥ED，
∴∠FBG=∠EDG，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG=GE，BG=GD，
即第（2）题中的结论仍然成立．
分析：（1）利用A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB=CD可判断全等三角形的个数．
（2）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．
（3）先根据DE⊥AC，B F⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CED，再求证△BFG≌△DEG，即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是需要证明多次全等，步骤繁琐，是一道综合性较强的中档题．