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    精英家教网（1）尝试：如图，已知A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC=90°，
    求证：AE•BE=AD•BC．
    （2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．
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    （3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C精英家教网重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．
    分析：（1）利用已知得出∠D=∠CEB，以及∠A=∠B即可得出△ADE∽△BEC，即可得出答案；
    （2）利用已知得出∠D=∠CEB，进而求出△ADE∽△BEC，即可得出
    AE
    BC
    =
    AD
    BE
    ；
    （3）假设点E为CD的中点，利用△ABP∽△PCE，得出比例式求出即可．
    解答：（1）证明：∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
    ∴∠DEA+∠CEB=90°，精英家教网
    ∵∠DEA+∠D=90°，
    ∴∠D=∠CEB，
    ∴△ADE∽△BEC，
    ∴
    AE
    BC
    =
    AD
    BE
    ，
    ∴AE•BE=AD•BC；

    （2）证明：∵∠A=∠B=∠DEC，精英家教网
    ∠A+∠D=∠1+∠CEB，
    ∴∠D=∠CEB，
    ∴△ADE∽△BEC，
    ∴
    AE
    BC
    =
    AD
    BE
    ，
    ∴AE•BE=AD•BC；

    （3）解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠APE=∠ABC精英家教网
    ∴∠B=∠C，∠B+∠BAP=∠APE+∠EPC，
    ∴∠BAP=∠EPC，
    ∴△ABP∽△PCE，
    ∴
    AB
    PC
    =
    BP
    CE
    ，
    ∵AB=4，BC=9，点E为CD的中点，
    ∴CE=2，假设BP=x，
    ∴
    4
    9-x
    =
    x
    2
    ，
    ∴x2-9x+8=0，
    解得：x1=1，x2=8．
    ∴当BP为1或8时，点E为CD的中点．
    点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的判定是初中阶段考查的重点同学们应重点掌握．
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    请你说说这是为什么．

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    求证：AE•BE=AD•BC．
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    （3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

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    求证：AE•BE=AD•BC．
    （2）一位同学在尝试了上题后还发现：如图2、图3，只要A、E、B三点在同一直线上，且∠A=∠B=∠DEC，则（1）中结论总成立．你同意吗？请选择其中之一说明理由．

    （3）运用：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=4，BC=9，P为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作PE交CD于点E，使得∠APE=∠ABC．则当BP为何值时，点E为CD的中点．

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