Question

已知二次函数的顶点C的横坐标为1，一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点，且A点在y轴上，以C为圆心，CA为半径的⊙C与x轴相切，
（1）求二次函数的解析式；
（2）若B点的横坐标为3，过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l，判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系；
（3）在满足（2）的条件下，把二次函数的图象向右平移7个单位，向下平移t个单位（t＞2）的图象与x轴交于E、F两点，当t为何值时，过B、E、F三点的圆的面积最小？

Answer 1

（1）∵一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于y轴的A点，
∴A（0，2）；
∵以CA为半径的⊙C与x轴相切，
∴点C在x轴上方，可设C（1，y），则有：
y²=（1-0）²+（y-2）²，解得 y=

5

4

即：顶点C（1，

5

4

）；
设二次函数的解析式为：y=a（x-1）²+

5

4

，代入A（0，2），有：
a（0-1）²+

5

4

=2，解得 a=

3

4

∴二次函数的解析式：y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

x²-

3

2

x+2．

（2）当x=3时，y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

×4+

5

4

=

17

4

，即 B（3，

17

4

）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中点（

3

2

，

25

8

），AB=

(3-0)2+( 17 4 -2)2

=

15

4

；
过点C且平行于x轴的直线l：y=

5

4

，所以以AB为直径的圆心到直线l的距离为：

25

8

-

5

4

=

15

8

=

1

2

AB；
因此以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）二次函数平移后的解析式为y=

3

4

（x-8）²+

5

4

-t，
令y=0，即

3

4

（x-8）²+

5

4

-t=0，解得：x=8±

3

3

4t-5

；
假设E（8-

3

3

4t-5

，0）、F（8+

3

3

4t-5

，0），EF的中垂线为x=8；
过B、E、F三点的圆心在x=8上，若过B、E、F三点的圆的面积最小，只需点B到直线x=8的距离最小，即最小值为5；
过B作直线x=8的垂线，垂足P即为圆心，半径r=5；
则PE=5，EF=

2 3

3

4t-5

，ES=

1

2

EF=

3

3

4t-5

；
由PS²+ES²=PE²，得：（

17

4

）²+

1

3

（4t-5）=5²，
解得：t=

413

64

；
即：当t=

413

64

时，过B、E、F三点的圆的面积最小．