Question

1．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=1，BC=2，CD=3，以B为圆心，半径为1的弧交BC于M，E是线段CD上一动点，EG⊥AD，垂足为G，F是弧AM上一动点，则EG+EF的最小值为$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

Answer 1

分析 作AH⊥CD于点H．易证△ADH是等腰直角三角形，延长BC到M使CM=BC=2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF取得最小值，解直角△CMK和直角△DNK，求得MN，MN减去1就是所求．

解答 解：作AH⊥CD于点H．则四边形ABCH是矩形．DH=CD-AB=3-1=2，AH=BC=2．
则AH=DH，△ADH是等腰直角三角形．
则∠ADC=45°．
延长BC到M使CM=BC=2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF取得最小值．
∵∠ADC=90°，MN⊥AD，
∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD=∠CKM=45°，
同理△CMK是等腰直角三角形．
则CK=CM=2，KM=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{2}$，
∴DK=CD-CK=3-2=1，
∴NK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则MN=MK+NK=2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
则EG+EF的最小值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．
故答案是：$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

点评 本题考查了图形的最短路径问题，正确确定E的位置，作出辅助线是关键．