Question

1．矩形纸片ABCD中，AD=10，AB=a（5＜a＜10）
第1次操作：把该矩形的短边掀起，按图1那样折叠，使点B落在AD边上的B′处，折痕为AE，沿EB′剪下，剩下一个矩形B′ECD，此时ABEB′是正方形，B′D=10-a；
第二次操作：把矩形B′ECD的短边掀起，按图2那样折叠，使点E落在CD边上的E′处，折痕为CF，沿FE剪下，剩下一个矩形B′FE′D，此时E′D=（用含a的代数式表示）…
第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．
若n=3，则a=2或$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据题意可得可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为10-a，第二次操作时正方形的边长为10-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为10-a，2a-10．然后分别从10-a＞2a-10与10-a＜2a-10去分析求解，即可求得答案．

解答 解：由题意可知当5＜a＜10时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为10-a，
所以第二次操作时剪下正方形的边长为10-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为10-a，2a-10；
∴E′D=2a-10；
此时，分两种情况：
①如果10-a＞2a-10，即a＜$\frac{20}{3}$，那么第三次操作时正方形的边长为2a-10．
则2a-10=（10-a）-（2a-10），解得a=6；
②如果10-a＜2a-10，即a＞$\frac{20}{3}$，那么第三次操作时正方形的边长为10-a．
则10-a=（2a-10）-（10-a），解得a=$\frac{15}{2}$．
∴当n=3时，a的值为2或$\frac{15}{2}$．
故答案为：2或$\frac{15}{2}$．

点评 此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．