Question

设a、b、c为非零实数，且ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0，试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．

Answer 1

解：设三个二次方程都没有不等的实数根，则△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；
三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0．
∴a=b=c．
即a=b=c，三个二次方程都没有不等的实数根．
所以当a，b，c为不全相等的非零实数时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
分析：先设三个方程都没有不等实数根，得到三个判别式小于或等于0，即△₁=4b²-4ac≤0；△₂=4c²-4ab≤0；△₃=4a²-4bc≤0；三式相加得，a²+b²+c²-ab=ac-bc≤0，变形为（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²≤0，得到a=b=c．则三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根是a，b，c不全相等．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．