Question

【题目】点A是函数y＝（x＞0）上一动点，连接OA，线段OB与OA关于y轴对称，将线段OA绕点O逆时针旋转90°得线段OC，将线段OA绕点A逆时针旋转90°得线段DA．

（1）在图1中画出线段OB、OC，保留作图痕迹；

（2）连接AB、BC、AC，当△AOB的面积等于△BOC的面积时，求△ABC的面积；

（3）如图3，若点D的坐标为（m，n），直接写出m与n的等量关系式．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2或2+4；（3）m2﹣n2＝8+8．

【解析】

（1）由旋转的性质和轴对称的性质可得；

（2）分OB在∠AOC内部和外部两种情况讨论，先求出OA2＝OB2＝OC2＝4+8，再利用面积和差关系可求解；

（3）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥AE于F，由AAS可证△AOE≌△DAF，可得AE＝DF，OE＝AF，即可求OE＝，AE＝，由反比例函数的性质可求解．

解：（1）如图所示：

（2）∵线段OB与OA关于y轴对称，将线段OA绕点O逆时针旋转90°得线段OC，

∴OA＝OB＝OC，∠AOC＝90°，

①当OB在∠AOC内部时，如图2，作BH⊥OA于H，BG⊥OC于G，设AB交y轴于点E，

∵点A是函数y＝（x＞0）上一动点，

∴S△AOE＝（2+2），

∴S△AOB＝2+2，

∵△AOB的面积等于△BOC的面积，

∴OA×BH＝OC×BG，且OC＝OA，

∴BH＝BG，且BH⊥OA，BG⊥OC，

∴OB平分∠AOC，

∴∠AOB＝45°，且BH⊥AO，

∴∠HOB＝∠HBO，

∴BH＝OH

∴BH＝OH＝OB＝OA，

∵S△AOB＝AO×BH，

∴2+2＝×OA×OA，

∴OA2＝4+8，

∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC﹣S△ACO，

∴S△ABC＝2×（2+2）﹣×AO2＝2

②当OB在∠AOC外部时，如图2﹣1，过点C作CH⊥BO于H，作AG⊥BO于G，

∵△AOB的面积等于△BOC的面积，

∴OB×CH＝OB×AG，

∴CH＝AG，且CH∥AG，

∴四边形ACHG是平行四边形，

∴AC∥HG，

∴∠ACO＝∠COB＝45°，

∴∠HCO＝∠HOC＝45°，

∴CH＝OH，

∴CH＝OC＝OB，

∵S△BOC＝BO×CH＝2+2，

∴BO2＝4+8＝OC2，

∵S△ABC＝S△BOC+S△AOC﹣S△AOB＝S△AOC，

∴S△ABC＝OC2＝2+4，

（3）如图3，过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥AE于F，

∵将线段OA绕点A逆时针旋转90°得线段DA，

∴DA＝OA，∠OAD＝90°，

∴∠OAE+∠DAF＝90°，且∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠OAE＝∠ADF，且∠AEO＝∠AFD＝90°，AO＝AD，

∴△AOE≌△DAF（AAS）

∴AE＝DF，OE＝AF，

∵点D的坐标为（m，n），

∴OE+DF＝m，AF﹣AE＝﹣n，

∴OE＝，AE＝，

∵OEAE＝2+2，

∴m2﹣n2＝8+8．