Question

18．如图，函数y₁=k₁x+b₁过A（-2，0），B（0，1）两点．
（1）求y₁与x之间的函数表达式；
（2）当x取何值时，0$≤{y}_{1}＜\frac{5}{3}$；
（3）函数y₂=k₂x+b₂经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，若△COD和△AOB全等，求y₂与x之间的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出y₁与x之间的函数表达式；
（2）分别求出当y₁=0或$\frac{5}{3}$时，x的值，再根据一次函数的单调性即可得出结论；
（3）△COD和△AOB全等分两种情况考虑：①当△COD≌△AOB时，根据全等三角形的性质找出C、D的坐标，再利用待定系数法即可求出y₂与x之间的函数表达式；②当△DOC≌△AOB时，根据全等三角形的性质找出C、D的坐标，再利用待定系数法即可求出y₂与x之间的函数表达式．综合①②即可得出结论．

解答 解：（1）将A（-2，0）、B（0，1）代入y₁=k₁x+b₁中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1}+{b}_{1}}\\{1={b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=1}\end{array}\right.$，
∴y₁与x之间的函数表达式为y₁=$\frac{1}{2}$x+1．
（2）由y₁=0得：$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2；
由y₁=$\frac{5}{3}$得：$\frac{1}{2}$x+1=$\frac{5}{3}$，解得：x=$\frac{4}{3}$．
∵k₁=$\frac{1}{2}$＞0，
∴y₁随x的增大而增大，
∴当-2≤x＜$\frac{4}{3}$时，0$≤{y}_{1}＜\frac{5}{3}$．
（3）∵A（-2，0），B（0，1），
∴在△AOB中，OA=2，OB=1，∠AOB=90°，
又∵在△COD中，∠COD=90°．
∴△COD和△AOB全等有两种情况：
①当△COD≌△AOB时，OC=OA=2，OD=OB=1，
∵函数y₂=k₂x+b₂经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，
∴C（-2，0），D（0，-1）．
将C（-2，0）、D（0，-1）代入y₂=k₂x+b₂中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{2}+{b}_{2}}\\{-1={b}_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴y₂与x之间的函数表达式为y₂=-$\frac{1}{2}$x-1；
②当△DOC≌△AOB时，OD=OA=2，OC=OB=1，
∵函数y₂=k₂x+b₂经过二、三、四象限，与x、y轴分别交于C、D两点，
∴C（-1，0），D（0，-2）．
将C（-1，0）、D（0，-2）代入y₂=k₂x+b₂中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-{k}_{2}+{b}_{2}}\\{-2={b}_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-2}\\{{b}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴y₂与x之间的函数表达式为y₂=-2x-2．
综上可知：若△COD和△AOB全等，则y₂与x之间的函数表达式为y₂=-$\frac{1}{2}$x-1或y₂=-2x-2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据一次函数的单调性解不等式；（3）分△COD≌△AOB和△DOC≌△AOB两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．