Question

如图，AB垂直平分CD，AB与CD相交于点O，CD=2 cm，∠CAD=90°,∠CBD=60°,

点P、Q、M、N分别沿图示方向在线段上运动，同时开始以1cm/s的速度运动。

（1）       设出发时间为t(s)是否存在某一时刻，四边形PQMN为长方形，若存在，请证明时间；若不存在，请说明理由；

（2）       点P、Q、M、N分别与点O连结，图中阴影部分图形称为蝶形，求蝶形面积S关于t的函数关系式（0＜t＜）；

（3）       当t=时，在AB上找一点G，使GQ+GM最小，画出图形并求此时OG的长。

备用图

        （1）                      （2）                    （3）  

Answer 1

（1）要是四边形成为长方形，证PQ=MN

∵AB垂直平分CD,

∴CO=DO

∵∠CAD=90°,∠CBD=60°，CD=2 cm

∴AO=CO=DO=1,BO=,CB=DB=2 （直接利用相似也行）

∵AP=AQ=BM=BN= t

∴PQ= t,MN= t

∴不存在某一时刻，四边形PQMN为长方形-

（2）如图作AB与PQ、MN交于点E、F

∵PQ= t,MN= t

∴PE=QE= t,EO=1- t

MF=NF= t,BF= t,FO=- t

S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON=-

（3）利用轴对称与两点之间线段

如图，M关于AB的对称点为N,P、Q与C、D重合，

连结NQ交AB与点G，此时GQ+GM最小

计算OG的长可以建立直角坐标系，求出NQ所在直线的函数与Y轴的交点G（0，）

∴OG=-