【题目】在矩形ABCD中,AC、BD交于点O,点P、E分别是直线BD、BC上的动点,且PE=PC,过点E作EF∥AC交直线BD于点F.
(1)如图1,当∠COD=90°时,判断△BEF的形状,并说明理由;
(2)如图2,当点P在线段BO上时,求证:OP=BF;
(3)当∠COD=60°,CD=3时,请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积.
【答案】(1)△BEF是等腰直角三角形,理由见解析;(2)见解析;(3)当△PEF成为直角三角形时的面积是.
【解析】
(1)根据对角线互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形,再由平行线的性质和正方形的性质得∠FEB=45°,从而得:△BEF是等腰直角三角形;
(2)根据AAS证明△PEF≌△COP,可得结论;
(3)根据∠COD=60°,得△COD是等边三角形,则OC=CD=3,证明△PFE≌△COP(ASA),得PF=OC=3,根据直角三角形30度角的性质计算PE和EF的长,根据三角形的面积公式可得结论.
(1)△BEF是等腰直角三角形.
理由是:
如图1,∵∠COD=90°,
∴AC⊥BD,
∴矩形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,
∵EF∥AC,
∴∠FEB=∠ACB=45°,∠F=∠BOC=90°,
∴△BEF是等腰直角三角形.
(2)如图2,∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OB=BD,OC=AC,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB
∵PE=PC,
∴∠BEP=∠PCB,
∵∠OBC=∠BEP+∠EPB,∠OCB=∠PCB+∠OCP,
∴∠EPB=∠OCP
∵EF∥AC,
∴∠COP=∠BFE,
∴△PEF≌△CPO(AAS),
∴OC=PF=OB,
∴OB﹣PB=PF﹣PB,
即OP=BF
(3)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OD=BD,OC=AC,
∴OD=OC,
∵∠COD=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴OC=CD=3,
如图3,当∠PEF=90°时,
∵EF∥AC,
∴∠POC=∠OFE=60°,
∴∠BFE=120°,
∴OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=∠FEB=30°,
∵∠FEP=90°,
∴∠PEC=60°,
∵PE=PC,
∴△PEC是等边三角形,
∴∠PCB=60°,
∴∠PCO=60°-30°=30°=∠FPE,
∴△PFE≌△COP(ASA),
∴PF=OC=3,
Rt△PFE中,EF=,PE= ,
∴S△PEF=EFPE=××=;
∴当△PEF成为直角三角形时的面积是.
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【题目】如图,已知两条射线OM∥CN,动线段AB的两个端点A,B分别在射线OM,CN上,且∠C=∠OAB=108°,点E在线段CB上,OB平分∠AOE.
(1)图中有哪些与∠AOC相等的角?并说明理由;
(2)若平移AB,那么∠OBC与∠OEC的度数比是否随着AB位置变化而变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值.
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【题目】(9分)已知代数式(ax-3)(2x+4)-x2-b化简后,不含x2项和常数项.
(1)求a,b的值;
(2)求(2a+b)2-(a-2b)(a+2b)-3a(a-b)的值.
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【题目】如图,在梯形中,,,.是边的中点,联结、,且.设,.
(1)如果,求的长;
(2)求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)联结.如果是以边为腰的等腰三角形,求的值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2 , 如此继续下去,则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
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【题目】完成下面的证明
(1)如图,FG∥CD,∠1=∠3,∠B=50°,求∠BDE的度数.
解:∵FG∥CD(已知)
∴∠2=
又∵∠1=∠3,
∴∠3=∠2(等量代换)
∴BC∥
∴∠B+ =180°
又∵∠B=50°
∴∠BDE= .
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【题目】在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点A变换为点D,点E、F分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的△DEF,并求△DEF的面积;
(2)若连接AD、CF,则这两条线段之间的关系是________________ .
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【题目】如图,直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周,圆上与原点重合的点O到达O′,设点O′表示的数为a.
(1)求a的值;
(2)求﹣(a﹣)﹣π的算术平方根.
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