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    如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2
    		3
    ，0），⊙P刚好与x轴相切于点A，⊙P交y的正半轴于点B，点C，且BC=4．
    （1）求半径PA的长；
    （2）求证：四边形CAPB为菱形；
    （3）有一开口向下的抛物线过O，A两点，当它的顶点不在直线AB的上方时，求函数表达式的二次项系数a的取值范围．
    （1）作PD⊥BC于D，根据题意PB=
    		PD2+BD2
    =
    		(2
    		3
    )    2    +22
    =4，
    ∴半径PA=PB=4．

    （2）证明：∵⊙P刚好与x轴相切于点A
    ∴PA⊥x轴，
    ∴PA∥BC，
    ∵PA=BC=4，
    ∴四边形CAPB是平行四边形．
    又∵AP=PB，
    ∴平行四边形CAPB为菱形．

    （3）∵BD=2，
    ∴点B的坐标为B（0，6），
    设直线AB的解析式为y=kx+b则
    b=6
    -2
    		3
    k+b=0
    ，
    解得
    k=
    		3
    b=6
    ，
    ∴解析式是y=
    		3
    x+6．
    当x=-
    		3
    时，y=3，
    此时设抛物线为y=ax2+bx+c，
    根据题意
    (-2
    		3
    )    2    a+(-2
    		3
    )b+c=0
    c=0

    解得b=2
    		3
    a，
    ∴
    4ac-b2
    4a
    =-3a＜3，
    解得a＞-1，
    又∵抛物线开口向下，
    ∴-1＜a＜0．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=
    3
    5
    x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
    （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
    （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
    （2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．
    （3）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
    （4）设从出发起，运动了t秒．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴都只有一个交点，分别为A、B且AB=2，又关于x的方程x2-（b+2ac）x+m=0（m＜0）的两个实数根互为相反数．
    （1）求ac的值；
    （2）求二次函数的解析式；
    （3）过A点的直线与二次函数图象相交于另一个点C，与y轴的负半轴相交于点D，且使△ABD和△ABC的面积相等，求此直线的解析式并求△ABC的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=-
    3
    4
    x2+
    9
    4
    x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
    （1）求A、B、C三点的坐标；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）点P是直线BC上的动点，若△POB为等腰三角形，请写出此时点P的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
    （1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
    （2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
    （3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
    （4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______．
    （2）实践运用
    如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
    （3）拓展迁移
    如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    问题情境
    已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
    数学模型
    设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2(x+
    a
    x
    )(x＞0)    ．
    探索研究
    （1）我们可以借鉴学习函数的经验，先探索函数y=x+
    1
    x
    (x＞0)    的图象性质．
    1填写下表，画出函数的图象：
    x…
    1
    4
    1
    3
    1
    2
    		1234…
    y……
    ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
    ③在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．同样通过配方也可以求函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值．y=x+
    1
    x
    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2    =(
    		x
    )2+(
    1
    x
    )2-2
    		x
    •
    1
    x
    +2
    		x
    •
    1
    x

    =(
    		x
    -
    1
    x
    )2+2    ≥2
    当
    		x
    -
    1
    x
    =0，即x=1时，函数y=x+
    1
    x
    （x＞0）的最小值为2．
    解决问题
    （2）解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
    （1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+
    		3
    3
    PQ；
    （2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
    （3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．

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