Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标分别为

 

，并在图中画出示意图．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．

解答：解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF．
又∵DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴点E的坐标为（

1

3

，0），点F的坐标为（

7

3

，0）．
故答案为：（

1

3

，0），（

7

3

，0）．

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．