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如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F点.若AB=6cm.

(1)AE的长为 4 cm;

(2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值;

(3)求点D′到BC的距离.


              解:(1)∵∠BAC=45°,∠B=90°,

∴AB=BC=6cm,

∴AC=12cm,

∵∠ACD=30°,∠DAC=90°,AC=12cm,

∴CD=AC÷cos30°=12÷=12×=8(cm),

∵点E为CD边上的中点,

∴AE=DC=4cm.

故答案为:4

(2)∵Rt△ADC中,∠ACD=30°,

∴∠ADC=60°,

∵E为CD边上的中点,

∴DE=AE,

∴△ADE为等边三角形,

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E,

∴△AD′E为等边三角形,

∠AED′=60°,

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°,

∴∠EFA=90°,

即AC所在的直线垂直平分线段ED′,

∴点E,D′关于直线AC对称,

连接DD′交AC于点P,

∴此时DP+EP值为最小,且DP+EP=DD′,

∵△ADE是等边三角形,AD=AE=4

∴DD′=2×AD×=2×6=12,

即DP+EP最小值为12cm;

(3)连接CD′,BD′,过点D′作D′G⊥BC于点G,

∵AC垂直平分线ED′,

∴AE=AD′,CE=CD′,

∵AE=EC,∴AD′=CD′=4

在△ABD′和△CBD′中,

∴△ABD′≌△CBD′(SSS),

∴∠D′BG=45°,

∴D′G=GB,

设D′G长为xcm,则CG长为(6﹣x)cm,

在Rt△GD′C中

x2+(6﹣x)2=(42

解得:x1=3,x2=3+(不合题意舍去),

∴点D′到BC边的距离为(3)cm.


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