Question

在直角坐标系中，已知两点A（-8，3），B（-4，5）以及动点C（0，n），D（m，0），则当四边形ABCD的周长最小时，比值

m

n

为

 

．

Answer 1

分析：先根据两点间的距离公式求出AB的值，再过点B作关于y轴的对称点B′，过点A作关于x轴的对称点A′，连接A′B′分别交x、y轴于点D、C，由两点之间线段最短可知线段A′B′即为四边形ABCD的周长最小值，用待定系数法求出过A′B′两点的直线解析式，即可求出C、D的坐标．

解答：解：∵AB=

(-8+4)2+(3-5)2

=2

5

，
∴四边形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=2

5

+BC+CD+AD，
∴求其周长最小值，就是求BC+CD+AD的最小值．过B作y轴对称点B′（4，5），
则BC=B′C，
过A作x轴对称点A′（-8，-3），则AD=A′D

∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D≥A′B′
即A′、D、C、B′四点共线时取等号
可求出相应的C、D坐标，
设直线A′B′的方程是y=kx+b（k≠0），
∴

5=4k+b -3=-8k+b

，解得k=

2

3

，b=

7

3

，故过A′B′两点的一次函数解析式为y=

2

3

x+

7

3

，
∴C（0，

7

3

）D（-

7

2

，0），
即n=

7

3

，m=-

7

2

，

m

n

=-

3

2

．
故答案为：-

3

2

．

点评：本题考查的是两点之间线段最短及用待定系数法求一次函数的解析式，根据对称的性质作出A、B的对称点A′、B′及求出其坐标是解答此题的关键．